論理演算の試験問題への適用

この単元で学ぶこと

• AND・OR・NOT・XORの真理値を求める
• 文章の条件を論理式へ対応付ける
• 桁ごとの演算と通常の足し算を区別する
• 全入力を調べて式の同値を判断する

本文解説

条件を先に定義する Aを会員、Bを招待客と定義します。少なくとも一方なら入場可はA OR Bです。両方の資格を持つ人も含みます。一方だけを満たす人に限定するならA XOR Bです。日常語の「または」は曖昧なので、両方の場合を含むかを明記します。

承認と残高の事例 承認済みAと残高十分Bの両方が必要なら処理条件はA AND B。A=1、B=0なら処理しません。残高が十分でも承認がなければ同じく処理しません。ANDの表の4組を書き、許可が一組だけであることを確認できます。

否定は式全体へ掛ける 処理不可はNOT(A AND B)です。これをNOT A OR NOT Bと書き換えられます。NOT A AND NOT Bでは両方の条件が欠けたときだけになり、一方だけ不足するケースが抜けます。NOTを各項に配る際にはANDとORも入れ替えます。

複合式を順に解く A=1、B=0、C=1のとき、(A XOR B) AND NOT Cを考えます。括弧内のXORは1、NOT Cは0、最後に1 AND 0=0となります。式全体を一度に暗算せず、中間値を記すと否定の適用範囲を追えます。

マスクで必要なビットだけ残す 1010 AND 0011=0010です。ANDの相手が1なら入力値が残り、0なら結果は0。下位2ビットの抽出には0011を使います。OR 0011なら下位を1へ設定し、XOR 0011なら下位を反転するため、目的が違います。

同値性の検証 二つの式の出力を、入力00、01、10、11の全組で比較します。NOT(A OR B)とNOT A AND NOT Bはどちらも00でだけ1です。一組の実験で一致しただけでは同値とは言えません。入力が3個なら8組必要です。

回路の接続として読む 各演算を一つのゲートと見ると、あるゲートの出力が次の入力になります。A XOR Bの出力をANDへ入れる場合、まずXORの出力を求めます。入力の組合せと接続関係で結果が決まり、回路を描く位置や線の長さで論理値は変わりません。

反例で誤った式を見つける ORとXORが同じだという主張は、A=B=1を代入すれば反証できます。ORは1、XORは0です。真理値表全体を作る前でも、両方真・両方偽・片方だけ真を試すと、条件の漏れを見つけやすくなります。

図解

重要ポイント

• ANDは両方、ORは少なくとも一方、XORは異なる入力で1。
• NOTは真と偽を反転する。
• ビット演算では桁ごとに真理値表を適用する。
• 全入力での出力一致が同値性の条件。

間違えやすい点

• ORには両方が真の場合も含む。
• 式全体を否定するときにANDとORの入替えを忘れない。
• 桁ごとの演算に算術の繰上がりを混ぜない。

用語解説

真理値表

入力の真偽の全組合せと、それぞれに対応する出力を並べた表。

排他的論理和

XOR。二つの入力の真偽が異なる場合に真となる演算。

論理積

AND。結合する条件が両方とも真の場合に真となる演算。

論理和

OR。少なくとも一方の条件が真の場合に真となる演算。

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